Siebzehneck

Regelmäßiges Siebzehneck

Das Siebzehneck oder Heptadekagon ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, die durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind. Im Folgenden werden ausschließlich das regelmäßige Siebzehneck, das konvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, sowie das regelmäßige überschlagene Siebzehneck beschrieben.

Seit mehr als 2000 Jahren war man aufgrund von Fehlversuchen überzeugt, dass das Siebzehneck nicht konstruierbar sei, sprich es gäbe keine Lösung allein mit Zirkel und Lineal. Erst Ende des 18. Jahrhunderts entdeckt ein damals achtzehnjähriger Carl Friedrich Gauß die Formel, mit deren Hilfe eine korrekte zeichnerische Darstellung gelingt. Die im Folgenden beschriebenen Konstruktionen für ein Siebzehneck sind eine Auswahl aus Lösungen mit sehr unterschiedlichen Vorgehensweisen.

Geschichte

Erster Eintrag im mathematischen Tagebuch von Gauß:
1796.
Principia quibus innititur sectio circuli,
ac divisibilitas eiusdem geometrica in
septemdecim partes etc. Mart. 30. Brunsv.
(Grundlagen, auf die sich die Teilung des Kreises stützt, und zwar dessen geometrische Teilbarkeit in siebzehn Teile etc. 30. März. Braunschweig)

Mitteilung der Konstruierbarkeit im Intelligenzblatt der allgem. Literatur-Zeitung (1796)

Konstruktionen zu Vielecken, wie regelmäßigen Drei-, Vier-, Fünf- und Sechsecken sowie deren Verdoppelungen sind schon seit Euklids Elementen (3. Jahrhundert v. Chr.) bekannt, aber es war niemandem gelungen, z. B. ein Sieben- oder Neuneck zeichnerisch darzustellen. In den vielen folgenden Jahrhunderten festigte sich deshalb die Annahme: Weitere konstruierbare Vielecke werde man nicht finden. Mehr als 2000 Jahre später waren Erstaunen und Interesse groß, als der achtzehnjährige Gauß am 29. März 1796 im „Intelligenzblatt der allgem. Literatur-Zeitung“ als Stud. der Mathematik zu Göttingen seine neue Entdeckung (vorerst ohne weitere Details) ankündigt.

Am 30. März 1796, also kurz vor seinem 19. Geburtstag (30. April), macht Gauß den ersten Eintrag in seinem Mathematischen Tagesbuch. Darin beschreibt er in lateinischer Sprache und in kurzen Worten seine Entdeckung, die zur Konstruierbarkeit des Siebzehneck führt (siehe nebenstehendes Bild).

Die ausführliche Erklärung dazu folgt fünf Jahre später im vorletzten Abschnitt seines Werks „Disquisitiones Arithmeticae“ (1801) („Untersuchungen über höhere Arithmetik“). Darin zeigt und beweist Gauß u. a. die Formel für den Kosinus des Zentriwinkels, der allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Wie der Kosinus des Zentriwinkels konstruktiv dargestellt werden kann, enthält das Werk nicht. Noch im selben Jahr, am 21. Juni, stellt Gauß in der St. Petersburger Akademie die Kurzfassung seiner Formel vor (Näheres im Abschnitt Eigenschaften).

In seinem Brief an Gerling vom 6. Januar 1819 macht Gauß auf den Druckfehler in „Disquisitiones arithmeticae“ bezüglich seiner Formel aufmerksam:

„$\cos \varphi =-{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {(34-3{\sqrt {17}})}}$

  $+^{*}{\frac {1}{8}}{\sqrt {{\Bigl \{}17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {(34-2{\sqrt {17}})}}-2{\sqrt {(34+2{\sqrt {17}})}}{\Bigr \}}}}$

Dies ist dieselbe Formel, die in meinen D[isquisitione] A[rithmeticae] p. 662 steht, nur ist dort durch einen Druckfehler statt des $+$, welches hier mit $^{*}$ bezeichnet ist, ein $-$ gesetzt, oder, was dasselbe ist, die dortige Formel stellt nicht $\cos \varphi$, sondern $\cos 4\varphi$, d.i. $\sin \left({\tfrac {90}{17}}\right)^{\circ }$ vor, also die doppelte Seite des 34-Ecks.“

– Carl Friedrich Gauß

Die ersten Konstruktionsbeschreibungen für ein Siebzehneck kamen Anfang des 19. Jahrhunderts. Carl Friedrich Gauß erhält im März 1802 einen Brief von Johann Friedrich Pfaff – ehemals Lehrer und Förderer von Gauß. Pfaff zitiert darin die (möglicherweise erste) Konstruktion eines Sechzehnecks aus einem Brief seines Kollegen Christoph Friedrich von Pfleiderer. T. P. Stowell sendet 1818 eine Basiskonstruktion an Leybourns mathematische Zeitschrift The Mathematical Repository mit dem Anliegen, den 1806 verfassten Artikel über das Siebzehneck erneut zu drucken. Magnus Georg Paucker findet seine Version eines Siebzehnecks im Jahr 1819. Die vielleicht bekannteste Darstellung zeigt Herbert Richmond 1893. Im Jahr 1897 veröffentlicht L. Gérard ein Siebzehneck, dessen Konstruktion er nur mit einem Zirkel mithilfe des Satzes von Mohr-Mascheroni erstellte. Duane DeTemple wiederum nimmt 1991 die sogenannten Carlyle-Kreise zu Hilfe, um seine Lösung des Siebzehnecks zu veröffentlichen. Am 23. Februar 2005 erscheint in Göttingen, anlässlich des 150. Todestages von Carl Friedrich Gauß, ein Katalog zur Ausstellung im Alten Rathaus am Markt. Hans Vollmayr erläutert darin eine Konstruktion des Siebzehnecks, in der als Ansatz die Kurzformel für den Kosinus des Zentriwinkels dient.

Eigenschaften

Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist – es kann somit unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal (den euklidischen Werkzeugen) gezeichnet werden –, diese Konstruierbarkeit jedoch über Jahrtausende nicht nachgewiesen werden konnte. Der Nachweis gelang erst Carl Friedrich Gauß im Jahr 1796. Er zeigte, dass für den Kosinus des Zentriwinkels

${\begin{aligned}\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)=\cos \left({\frac {360^{\circ }}{17}}\right)&={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\right)\\&\approx 0{,}93247222940435580457311589182156\end{aligned}}$

gilt, woraus sich die Konstruierbarkeit ergibt. Außerdem lassen sich damit auch verschiedene Größen des Siebzehnecks wie Seitenlänge, Umfang, Inkreisradius, Diagonale über zwei Seiten und Flächeninhalt berechnen.

Am 21. Juni 1801 stellte Gauß der St. Petersburger Akademie für seine obige Formel eine sogenannte Kurzfassung in drei Schritten vor, die sich aus der Gruppierung von Summen einzelner Kosinuswerte ergibt. Friedrich L. Bauer beschreibt sie 2009 in seinem Buch Historische Notizen zur Informatik im Kapitel Carl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATICA ausführlich, es sei deshalb hier nur das Ergebnis der Kurzfassung erwähnt.

Mit den darin u. a. eingeführten Hilfsgrößen

$q:=\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{17}}\right)$ und

$q':=\cos \left(3\cdot {\frac {2\pi }{17}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{17}}\right)$

gilt somit für den Kosinus des Zentriwinkels auch:

$\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{2}}q+{\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}-{\frac {1}{2}}q'}}={\frac {1}{2}}\cdot \left(q+{\sqrt {qq-2q'}}\right)$

Größen eines regelmäßigen Siebzehnecks mit dem Umkreisradius $r_{\rm {u}}$, dem Zentriwinkel $\textstyle \mu ={\tfrac {360^{\circ }}{17}}=21{\frac {3}{17}}^{\circ }$ sowie dessen Kosinus $\epsilon =\cos \mu$

Seitenlänge	$s={\sqrt {2\left(1-\epsilon \right)}}\cdot r_{\rm {u}}$	$\approx 0{,}367499\cdot r_{\rm {u}}$
Umfang	$U=17{\sqrt {2\left(1-\epsilon \right)}}\cdot r_{\rm {u}}$	$\approx 6{,}247484\cdot r_{\rm {u}}$
Inkreisradius	$r_{\rm {i}}={\sqrt {\frac {1+\epsilon }{2}}}\cdot r_{\rm {u}}$	$\approx 0{,}982973\cdot r_{\rm {u}}$
Diagonale über zwei Seiten	$d_{2}=2{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}\cdot r_{\rm {u}}$	$\approx 0{,}722483\cdot r_{\rm {u}}$
Flächeninhalt	$A={\frac {17}{2}}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}\cdot r_{\rm {u}}^{2}$	$\approx 3{,}070554\cdot r_{\rm {u}}^{2}$
Innenwinkel	$\phi =180^{\circ }-\mu ={\frac {15}{17}}\cdot 180^{\circ }$	$\approx 158{,}823529^{\circ }$

Mathematischer Hintergrund

Der Entdeckung von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung $x^{17}-1=0$ zugrunde, deren Lösungen – es handelt sich um die siebzehnten Einheitswurzeln – in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Umkreisradius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch geschachtelter Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil $\cos(2\pi /17)$ der Lösung $\zeta =e^{2\pi i/17}$, die entgegen dem Uhrzeigersinn zur Lösung 1 am nächsten liegt). Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „[d]urch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“ aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl $p$ gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen $1,\dotsc ,p-1$ können nämlich als Potenzen $g^{0}=1,g^{1}=g,g^{2},\dotsc ,g^{p-2}$ einer geeignet gewählten Zahl $g$, Primitivwurzel genannt, dargestellt werden. Insbesondere im Fall $p=17$ kann konkret $g=3$ gewählt werden, wie eine rekursive Berechnung der Potenzen zeigt:

${\begin{aligned}3^{0}&\equiv 1{\pmod {17}},\\3^{1}&\equiv 3{\pmod {17}},\\3^{2}&\equiv 9{\pmod {17}},\\3^{3}&\equiv 10{\pmod {17}},\\\end{aligned}}$

und verfährt man so weiter, ergeben sich die weiteren Restklassen $13,\;5,\;15,\;11,\;16,\;14,\;8,\;7,\;4,\;12,\;2,\;6$ modulo $17$. Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17. Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge

$\zeta ,\ \zeta ^{3},\ \zeta ^{9},\ \zeta ^{10},\ \zeta ^{13},\ \zeta ^{5},\ \zeta ^{15},\ \zeta ^{11},\ \zeta ^{16},\ \zeta ^{14},\ \zeta ^{8},\ \zeta ^{7},\ \zeta ^{4},\ \zeta ^{12},\ \zeta ^{2},\ \zeta ^{6},$

so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten, beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:

• Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
• Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
• Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.

Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel $\zeta +\zeta ^{16}=\zeta +\zeta ^{-1}=2\cos(2\pi /17)$.

Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form $2^{2^{k}}+1$ durchführen. Fünf solche Primzahlen, die Fermatsche Primzahlen genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige 257-Eck und das regelmäßige 65537-Eck zu den konstruierbaren Polygonen.

Geometrische Konstruktionen

Konstruktion nach Christoph Friedrich von Pfleiderer

Johann Friedrich Pfaff schreibt am 22. März 1802 aus Helmstedt einen Brief an Gauß (erstmals veröffentlicht 1917). Darin zitiert er aus einem Brief – den er von Christoph Friedrich von Pfleiderer erhalten hat – die folgende möglicherweise erste Konstruktion eines regelmäßigen Siebzehnecks.

Siebzehneck mit Weiterführung der Konstruktion, überliefert aus dem Jahr 1802. Bei der Konstruktion ist zu beachten: Beim Bestimmen des Punktes Q (rot) ergibt sich ein sehr geringer Abstand zum Punkt F.

Animation der Konstruktionsskizze
Der 15. Konstruktionsschritt liefert die erste Seitenlänge AN und zugleich das Ende der Darstellung nach Ch. F. von Pfleiderer. Ist Bestimmen und Verbinden der Eckpunkte jeweils ein Konstruktionsschritt, braucht das fertige Siebzehneck davon 30.

Konstruktionsbeschreibung von Ch. F. von Pfleiderer (freie Übersetzung)

“Angesichts des Durchmessers CH des Kreises wird zu seinem Ende C eine Normale PN gezogen, auf der zuerst CF = 1/4 CH; dann FM und FN, beide = FH, abgeschnitten werden. Halbieren Sie CM und CN in den Punkten L und O und ziehen Sie zum Mittelpunkt D des gegebenen Kreises die Linien LD und OD. Von der Senkrechten PN werden OQ = OD und LP = LD abgeschnitten. Zur Geraden PN wird zum Punkt Q die Normale QR = CP gezogen und anschließend R mit D verbunden. Über RD ziehen Sie einen Kreis, der die Gerade PN in S schneidet. Schließlich wird um den Mittelpunkt C mit Radius CS ein Kreis beschrieben, der den Kreis um D bei B schneidet. HB sei die Seite eines regelmäßigen Polygons mit 17 Seiten, das in den gegebenen Kreis eingeschrieben werden soll.”

– Ch. F. von Pfleiderer: The American Mathematical Monthly Vol. 27, No. 7/9 (1920)

Konstruktion nach T. P. Stowell

Das Finden der folgenden Basiskonstruktion eines regelmäßigen Siebzehnecks aus dem Jahr 1818 ist W. E. Heal aus Wheeling in Indiana geschuldet. Er stellte in der mathematischen Zeitschrift The Analyst, im März 1877, zur Konstruktion der Polygone 17-Eck und 257-Eck allein mit Zirkel und Lineal, die Frage: „Wie wird dies bewiesen?“ J. E. Hendricks, Herausgeber von The Analyst, beantwortete in der Ausgabe vom Mai 1877, Nr. 3. seine Frage, darin zitierte er auch T. P. Stowell aus Rochester, N. Y.: „Vielleicht würde es einige Ihrer Leser interessieren, einen in [Thomas Leybourns] Mathematical Repository (Band I, 2. Folge) 1806 veröffentlichten Artikel erneut zu drucken.“ Da der Platz für eine vollständige Veröffentlichung des Artikels aus der angegebenen Quelle nicht zur Verfügung stand, wurde in The Analyst nur ein Ausschnitt davon sowie die von T. P. Stowell gesendete und Leybourns Mathematical Repository 1818 zugeschriebene Konstruktion eines Polygons mit 17 Seiten eingefügt.

Siebzehneck, Weiterführung der Basiskonstruktion aus dem Jahr 1818, mit Ergänzung von OK als mittlerer Proportionale von OH und OQ

Animation der Konstruktionsskizze
Der 16. Konstruktionsschritt liefert die erste Seitenlänge AN und zugleich das Ende der Basiskonstruktion nach T. P. Stowell. Ist Bestimmen und Verbinden der Eckpunkte jeweils ein Konstruktionsschritt, braucht das fertige Siebzehneck davon 31.

Konstruktionsbeschreibung von T. P. Stowell (Übersetzung):

“ZUR KONSTRUKTION eines regelmäßigen Polygons von siebzehn Seiten im Kreis.
Zeichnen Sie den Radius CO rechtwinklig zum Durchmesser AB: Für OQ nehmen Sie die Hälfte von OC und für OD den achten Teil vom Radius [OB]: Nehmen Sie für DE und für DF jeweils gleich DQ, für EG gleich EQ und FH gleich FQ; für OK nehmen Sie die mittlere Proportionale zwischen OH und OQ und ziehen Sie KM durch K parallel zu AB, KM trifft in M auf den über OG beschriebenen Halbkreis; zeichnen Sie MN parallel zu OC, MN schneidet den gegebenen Kreis in N – der Bogen AN ergibt den siebzehnten Teil des gesamten Umfangs.”

– T. P. Stowell: The Analyst. Band IV. Mai 1877. No. 3.

Konstruktion nach Georg Paucker

Magnus Georg Paucker legte 1819 seine geometrische Konstruktionsanleitung für das Siebzehneck der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst vor, wo sie 1822 veröffentlicht wurde.

Konstruktionsskizze nach Magnus Georg Paucker mit deren Weiterführung bis zum fertigen Siebzehneck, Schritt 17: Abtragen der Diagonalen über zwei Seiten.

Animation der Konstruktionsskizze, Schritt 17: Abtragen der Seite ij auf dem Umkreis.

Die folgende Konstruktionsanleitung enthält die Konstruktion nach Magnus Georg Paucker. sowie deren Weiterführung bis zum fertigen Siebzehneck. Die in der Originalzeichnung von Paucker enthaltenen Radien und die meisten Diagonalen dienen der Darstellung von in seiner Originalbeschreibung stehenden Formeln und sind für die geom. Konstruktion nicht erforderlich. Sie wurden hier weggelassen.

1. Zeichne auf dem Durchmesser pa um den Mittelpunkt m den Umkreis des werdenden 17-Ecks.
2. Errichte den Durchmesser pA = pa senkrecht zu pa.
3. Halbiere den Radius mp in B.
4. Verlängere pa ab p.
5. Trage die Strecke AB ab B auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist C.
6. Halbiere pA in D.
7. Halbiere pC in E.
8. Trage die Strecke ED ab E auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist F.
9. Errichte den Radius mG senkrecht zu pa.
10. Halbiere mC in H.
11. Trage die Strecke HG ab H auf pa ab, Schnittpunkt ist I.
12. Konstruiere den Halbkreis über pF.
13. Konstruiere den Halbkreis über pI, Schnittpunkt mit mG ist K.
14. Zeichne die Parallele zu mp ab K, Schnittpunkt mit Halbkreis über pF ist L.
15. Fälle das Lot von L auf mH, Fußpunkt ist M. Es gilt pM ist die Seite des 34-Ecks.

Von hier aus zwei Möglichkeiten als Beispiele:

16. Ziehe einen Halbkreis um p mit dem Radius pM, damit ergibt sich auf dem Umkreis der Punkt i und ein z. B. mit j bezeichneter Punkt. Die Strecke ij ist die gesuchte Seite des 17-Ecks.
17. Trage die Seite ij vierzehnmal auf dem Umkreis ab.

oder:

16. Es gilt auch MF = pc, demzufolge trage MF auf dem Umfang in Richtung Punkt a ab und du erhältst Punkt c.
17. Trage ac, also die Diagonale über zwei Seiten, von a beginnend weitere Male auf dem Umfang ab, bis alle Ecken markiert sind.

Jeweils abschließend:

18. Verbinde die so gefundenen Punkte zu einem vollständigen 17-Eck.

Konstruktion nach Herbert Richmond

Im Jahr 1825 legte Johannes Erchinger eine Konstruktion der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen vor, die Gauß daraufhin in den Göttingischen Gelehrten Anzeigen besprach. Die folgende einfachere Konstruktion stammt von Herbert William Richmond aus dem Jahr 1893.

Konstruktionsskizze nach Herbert William Richmond

Animation der Skizze

Ist der Umkreis des entstehenden Siebzehnecks mit dem Mittelpunkt O gegeben, kann das Siebzehneck konstruiert werden durch:

1. Zeichnen eines Durchmessers durch den Mittelpunkt O; Schnittpunkt mit Umkreis ist A, später zusätzlich mit P17 bezeichnet.
2. Errichten eines Radius senkrecht zu AO auf O bis zum Umkreis; Schnittpunkt mit Umkreis ist B.
3. Konstruktion des Punktes I durch Vierteln der Strecke BO; I liegt näher an O.
4. Konstruktion des Punktes E durch Vierteln des Winkels OIA.
5. Konstruktion des Punktes F mithilfe einer Senkrechten auf EI auf I; Halbierung des 90°-Winkels; Schnittpunkt mit Durchmesser ist F und Winkel FIE ist 45°.
6. Konstruktion des Thaleskreises über AF; Schnittpunkt mit BO ist K.
7. Zeichnen des Halbkreises um den Mittelpunkt E mit dem Radius EK; Schnittpunkte mit dem Durchmesser sind N₃ und N₅ (dabei liegt N₃ sehr nahe beim Mittelpunkt des Thaleskreises über AF).
8. Errichten der Senkrechten auf die Mittelachse ab N₃; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt P₃ des Siebzehnecks; der Kreisbogen OAP₃ ist somit 3/17 des Umkreisumfanges.
9. Errichten der Senkrechten auf die Mittelachse ab N₅; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt P₅ des Siebzehnecks; der Kreisbogen OAP₅ ist somit 5/17 des Umkreisumfanges.
10. Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke AP₃ auf dem Umkreis, ab dem Eckpunkt P₃ gegen den Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte P₆, P₉, P₁₂, P₁₅, P₁, P₄, P₇, P₁₀, P₁₃, P₁₆, P₂, P₈, P₁₁ und P₁₄.
11. Verbinden der so gefundenen Punkte P₁, P₂, …, P₁₇, P₁ vervollständigt das 17-Eck.

Konstruktion nach L. Gérard

Siebzehneck nach L. Gérard 1897,
mithilfe des Satzes von Mohr-Mascheroni allein mit Zirkel konstruiert

Pietro Ermenegildo Daniele, ein italienischer Mathematiker (1875–1949), beschreibt im sechsten Artikel seines Werkes Über die Konstruktionen des regulären Siebzehnecks eine Konstruktion nach L. Gérard mithilfe des Satzes von Mohr-Mascheroni.

Gérards Siebzehneck – allein mit einem Zirkel konstruiert – wurde in Mathematische Annalen (48. Band) im Jahr 1897 veröffentlicht.

• Das im Bild eingetragene farbige Siebzehneck sowie die gepunkteten Verbindungslinien der Eckpunkte sind nicht Teil der Lösung (alleinige Verwendung des Zirkels), sie sollen lediglich der Veranschaulichung dienen. Um die Erklärungen von Daniele zum mathematischen Hintergrund (§ 4. Die Konstruktion von Gérard, ab Seite 183) nachvollziehen zu können, wurden die Bezeichnungen der Schnittpunkte übernommen. In der folgenden Konstruktion entsteht jeder Schnittpunkt durch das Kreuzen zweier Kreise. Für eine bessere Übersichtlichkeit ersetzen kurze Kreisbögen die entsprechenden Kreise (siehe Animation).

Konstruktionsbeschreibung

(in Klammer die Bildnummer)

Siebzehneck ohne Lineal als Animation mit 16 Bildern, 15 s Pause

 (1) Es beginnt mit dem Einheitskreis um den Mittelpunkt $O,$ Radius $|OA|=1$.

 (2) Nun trägt man im Uhrzeigersinn dreimal den Radius ${\overline {OA}}$ auf den Umkreis des entstehenden Siebzehnecks auf, dabei ergeben sich die Schnittpunkte $B,C$ sowie der erste Eckpunkt $D.$

Es folgt die Ermittlung des Mittelpunktes $M$ des Radius $|OA|$.

 (3) Zwei Kreisbögen um $A$ mit dem Radius $|AD|$ und zwei Kreisbögen um $D$ mit dem Radius $|DB|$ erzeugen die Schnittpunkte $G$ und $G'$.

 (4) Je ein Kreisbogen um $G$ und $G'$ mit Radius $|DB|$ liefert den Schnittpunkt $M.$

Es geht weiter mit dem Bestimmen der noch erforderlichen Schnittpunkte $X$ bis $Z_{1}$.

 (5) $X\colon$ je ein Kreisbogen um $A$ und $D$ mit Radius $|AC|,$

 (6) $F$ und $F'\colon$ zwei Kreisbögen um $A$ mit Radius $|OX|,$

 (7) $K$ und $K'\colon$ zwei Kreisbögen um $M$ mit Radius $|OA|,$

 (8) $E_{1}$ und $E_{2}\colon$ je zwei Kreisbögen um $K$ und $K'$ mit Radius $|OX|,$

 (9) $L_{1}$ und $L'_{1}\colon$ je zwei Kreisbögen um $F$ und $F'$ mit Radius $|OE_{1}|$ sowie zwei Kreisbögen um $E_{1}$ mit Radius $|OA|,$

(10) $E_{11}\colon$ je einen Kreisbogen um $L_{1}$ und $L'_{1}$ mit Radius $|E_{1}X|,$

(11) $L_{2}$ und $L'_{2}\colon$ je zwei Kreisbögen um $F$ und $F'$ mit Radius $|OE_{2}|$ sowie zwei Kreisbögen um $E_{2}$ mit Radius $|OA|,$

(12) $E_{21}\colon$ je ein Kreisbogen um $L_{2}$ und $L'_{2}$ mit Radius $|E_{2}X|,$

(13) $N$ und $N'\colon$ je zwei Kreisbögen um $O$ und $E_{21}$ mit Radius $|AE_{11}|,$

(14) $Z_{1}\colon$ je ein Kreisbogen um $N$ und $N'$ mit Radius $|E_{11}B|.$

(15) Jetzt bedarf es nur noch zweier Kreisbögen um $Z_{1}$ mit Radius $|OA|$, um zwei weitere Eckpunkte $P$ und $P'$ zu erhalten.

Die Abstände $|DP|$ und $|DP'|$ entsprechen jeweils einer Seitenlänge des entstehenden Siebenecks.

(16) Abschließend liefern die noch fehlenden 14 Eckpunkte, durch Abtragen des Abstandes $|DP|$ auf den Umkreis, ein regelmäßiges Siebzehneck allein mit dem Zirkel erstellt.

Konstruktion nach Duane DeTemple

Duane W. DeTemple veröffentlichte im Jahr 1991 in der mathematischen Zeitschrift The American Mathematical Monthly eine Konstruktion des Siebzehnecks. Für seine Lösung verwendete er u. a. vier sogenannte Carlyle-Kreise.

Konstruktionsskizze nach Duane W. DeTemple

Animation der Skizze, am Ende 20 s Pause

Video

1. Zeichne die x-Achse und setze darauf den Punkt ${\textstyle 0=(0\;;\;0).}$
2. Zeichne um $O$ den Einheitskreis $c_{1}$ mit Radius $r_{1},$ Schnittpunkte mit $c_{1}$ sind $P_{0}=(+r_{1}\;;\;0)$ und $Q=(-r_{1}\;;\;0).$
3. Konstruiere die y-Achse vom Umkreis $c_{1}$ des entstehenden 17-Ecks, Schnittpunkt mit $c_{1}$ ist $A=(0\;;\;r).$
4. Halbiere den Radius ${\overline {OQ}}$ in ${\textstyle Q'=\left({\frac {-r}{2}}\;;\;0\right).}$
5. Ziehe den Kreisbogen $c_{2}$ mit dem Radius $r_{2}={\overline {Q'P_{0}}}$ ${\textstyle \left(r_{2}={\frac {3}{2}}\cdot r_{1}\right)}$ um $Q'.$
6. Errichte eine Senkrechte auf dem Radius ${\overline {OQ}}$ ab $Q',$ Schnittpunkt mit $c_{2}$ ist ${\textstyle M_{0}=\left({\frac {-r_{1}}{2}}\;;\;-1{,}5\;r_{1}\right).}$
7. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen $Cc_{1}$ um $M_{0}$ durch $A$ (mit ${\textstyle r_{Cc1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {26}}\cdot r_{1}}$) so, dass er die x-Achse vom Umkreis $c_{1}$ zweimal trifft, Schnittpunkte sind ${\textstyle H_{0,2}=\left({\frac {1}{2}}\left(-1+{\sqrt {17}}\right)\cdot r_{1}\;;\;0\right)}$ und ${\textstyle H_{1,2}=\left({\frac {1}{2}}\left(-1-{\sqrt {17}}\right)\cdot r_{1}\;;\;0\right).}$
8. Halbiere die Strecke ${\overline {OH_{0,2}}}$ in ${\textstyle M_{0,2}=\left({\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {17}}\right)\cdot r_{1}\;;\;0\right).}$
9. Halbiere die Strecke ${\overline {OH_{1,2}}}$ in ${\textstyle M_{1,2}=\left({\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {17}}\right)\cdot r_{1}\;;\;0\right).}$
10. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen $Cc_{2}$ um $M_{1,2}$ ab $A$ bis auf die x-Achse, Schnittpunkt ist ${\textstyle H_{1,4}=\left({\frac {r_{1}}{4}}\left({\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}-{\sqrt {17}}-1\right)\;;\;0\right).}$
11. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen $Cc_{3}$ um $M_{0,2}$ ab $A$ bis auf die x-Achse, Schnittpunkt ist ${\textstyle H_{0,4}=\left({\frac {r_{1}}{4}}\left({\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+{\sqrt {17}}-1\right)\;;\;0\right).}$
12. Trage ${\overline {OH_{1,4}}}$ von Punkt $A$ aus auf der Geraden ${\overline {OA}}$ ab. Du erhältst Punkt ${\textstyle Y=\left(0\;;\;{\frac {r_{1}}{4}}\left({\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}-{\sqrt {17}}+3\right)\right).}$
13. Verbinde $Y$ mit $H_{0,4}.$
14. Halbiere die Strecke ${\overline {H_{0,4}Y}}$ in ${\textstyle M_{0,4}=\left({\frac {r_{1}}{8}}\left({\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+{\sqrt {17}}-1\right)\;;\;{\frac {r_{1}}{8}}\left({\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}-{\sqrt {17}}+3\right)\right).}$
15. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen $Cc_{4}$ um $M_{0,4}$ ab $A$ bis auf die x-Achse, Schnittpunkt ist $H_{0,8}.$
16. Ziehe den Kreisbogen $c_{3}$ mit dem Radius ${\overline {OP_{0}}}$ um $H_{0,8},$ Schnittpunkte mit dem Umkreis $c_{1}$ sind die Eckpunkte $P_{1}$ und $P_{16},$ somit ist die Strecke ${\overline {P_{0}P_{1}}}$ die erste Seite des gesuchten 17-Ecks.
17. Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke ${\overline {P_{0}P_{1}}}$ auf dem Umkreis $c_{1},$ ab dem Eckpunkt $P_{1}$ gegen den Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte $P_{2}$ bis $P_{16}.$
18. Verbinde die so gefundenen Punkte $P_{1},P_{2},\dotsc ,P_{16}$ und $P_{0},$ dann ist das 17-Eck vollständig gezeichnet.

Konstruktion mithilfe der gaußschen Kurzfassung der Formel

Anlässlich der 150. Wiederkehr des Todestages von Carl Friedrich Gauß am 23. Februar 2005 gab es in Göttingen im Alten Rathaus am Markt vom 23. Februar bis zum 15. Mai 2005 die Ausstellung „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Der Katalog zu dieser Ausstellung, herausgegeben von Elmar Mittler, enthält Aufsätze in diversen Rubriken. Im Abschnitt Mathematik ist der Beitrag 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal von Hans Vollmayr zu finden. Die im Folgenden dargestellte Konstruktion ist prinzipiell den Kapiteln Das Siebzehneck: die Rechnung und Das Siebzehneck: die Zeichnung entnommen.

Die Kurzfassung der Formel für den Kosinus des Zentriwinkels (siehe Eigenschaften),

$\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left(q+{\sqrt {qq-2q'}}\right),$

erleichtert eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die mithilfe der Hilfsgrößen, quasi Schritt für Schritt, den Kosinus des Zentriwinkels liefert. Ein möglicher Lösungsweg ist, die Hilfsgrößen zeichnerisch separat in drei Bildern (1–3) mit elementaren algebraischen Operationen darzustellen. Dies macht die Konstruktion übersichtlich und allgemein gut nachvollziehbar.

Konstruktion der Hilfsgrößen p und q sowie des Produkts qq

Bild (1): Konstruktion der Hilfsgrößen p und q und des Produkts qq

Darin gilt $p={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}$ sowie $q={\frac {p+{\sqrt {1+pp}}}{2}}.$

1. Ab Punkt $A$ eine Halbgerade ziehen, darauf $B$ mit ${\overline {AB}}=1,$ Lot auf Strecke ${\overline {AB}}$ in $A$ errichten und ${\overline {AB}}$ ab $A$ auf Lot übertragen ergibt $C.$
2. Lot auf ${\overline {AB}}$ in $B$ mit Länge $={\frac {1}{4}}\cdot {\overline {AB}}$ ergibt $D,$ anschließend Halbgerade von $A$ durch $D$ ergibt ${\overline {AD}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {17}}.$
3. Kreis um $D$ durch $B$ ergibt $E$ auf Halbgerade, ${\overline {AE}}$ ist Hilfsgröße $p.$
4. Viertelkreis um $A$ durch $E$ ergibt $F$ und $G,$ nun $C$ mit $F$ verbinden, anschließende Parallele zu ${\overline {CF}}$ ab $G$ ergibt $H$ sowie mit ${\overline {AH}}$ das Produkt $pp.$
5. Zu $pp$ zweimal die Länge $1={\overline {AC}}$ addieren, ergibt $I$ und $J,$ anschließend ${\overline {AJ}}$ in $K$ halbieren und um $K$ über ${\overline {AJ}}$ Halbkreis ziehen.
6. Lot auf ${\overline {AJ}}$ in $I$ bis Halbkreis ergibt ${\overline {IL}}={\sqrt {pp+1}},$ anschließend zu ${\overline {IL}}$ ab $L$ Hilfsgröße $p={\overline {AE}}$ addieren, ergibt $M.$
7. ${\overline {IM}}$ in $N$ halbieren ergibt Hilfsgröße ${\overline {IN}}=q.$
8. Viertelkreis um $I$ ab $J$ ergibt $O,$ anschließend Viertelkreis um $I$ ab $N$ ergibt $P.$
9. $O$ mit $P$ verbinden, anschließende Parallele zu ${\overline {OP}}$ ab $N$ ergibt $Q$ sowie mit ${\overline {IQ}}$ das Produkt $qq.$

Konstruktion der Hilfsgrößen p' und q'

Bild (2): Konstruktion der Hilfsgrößen p' und q'

Darin gilt $p'={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}$ sowie $q'={\frac {p'+{\sqrt {1+p'p'}}}{2}}.$

1. Ab Punkt $A'$ eine Halbgerade ziehen, darauf $B'$ mit ${\overline {A'B'}}=1,$ Lot auf Strecke ${\overline {A'B'}}$ in $A'$ errichten und ${\overline {A'B'}}$ ab $A'$ auf Lot übertragen ergibt $C'.$
2. Lot auf ${\overline {A'B'}}$ in $B'$ mit der Länge ${\frac {1}{4}}\cdot {\overline {A'B'}}$ ergibt $D',$ anschließend Halbgerade von $A'$ durch $D'$ ergibt ${\overline {A'D'}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {17}}.$
3. Kreis um $D'$ durch $B'$ ergibt $E'$ auf Halbgerade, ${\overline {A'E'}}$ ist Hilfsgröße $p'.$
4. Viertelkreis um $A'$ durch $E'$ ergibt $F'$ und $G',$ nun $C'$ mit $F'$ verbinden, anschließende Parallele zu ${\overline {C'F'}}$ ab $G'$ ergibt $H'$ sowie mit ${\overline {A'H'}}$ das Produkt $p'p'.$
5. Zu $p'p'$ zweimal die Länge $1={\overline {A'C'}}$ addieren, ergibt $I'$ und $J',$ anschließend ${\overline {A'J'}}$ in $K'$ halbieren und um $K'$ über ${\overline {A'J'}}$ Halbkreis ziehen.
6. Lot auf ${\overline {A'J'}}$ in $I'$ bis Halbkreis ergibt ${\overline {I'L'}}={\sqrt {p'p'+1}},$ anschließend von ${\overline {I'L'}}$ ab $L'$ Hilfsgröße $p'={\overline {A'E'}}$ subtrahieren, ergibt $M'.$
7. ${\overline {I'M'}}$ in $N'$ halbieren ergibt mit ${\overline {I'N'}}$ Hilfsgröße $q'.$

Konstruktion der Wurzel aus qq-2q' und des Kosinus des Zentriwinkels μ

Bild (3): Konstruktion der Wurzel aus qq-2q' und des Kosinus des Zentriwinkels μ

1. Ab Punkt $I$ eine Halbgerade ziehen, darauf Produkt $qq$ aus Bild (1) übertragen ergibt $Q,$ anschließend Länge $1={\overline {AC}}$ aus Bild (1) ab $Q$ übertragen ergibt $R.$
2. Von $qq$ die Länge $2q'={\overline {I'M'}}$ aus Bild (2) ab Punkt $I$ subtrahieren ergibt $S,$ anschließend ${\overline {SR}}$ in $T$ halbieren und um $T$ über ${\overline {SR}}$ Halbkreis ziehen.
3. Lot auf ${\overline {SR}}$ in $Q$ bis Halbkreis ergibt ${\overline {QU}}={\sqrt {qq-2q'}}.$
4. Strecke ${\overline {Q'U'}}={\sqrt {qq-2q'}}$ einzeichnen und dazu Hilfsgröße $q={\overline {IN}}$ aus Bild (1) ab $U'$ addieren ergibt $V,$ anschließend ${\overline {Q'V}}$ in $W$ halbieren, die Strecke ${\overline {WV}}$ ist der Kosinus $\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left(q+{\sqrt {qq-2q'}}\right)$ des Zentriwinkels $\mu$ des Siebzehnecks.
5. Um Punkt $W'$ Umkreis mit dem Radius $1$ (z. B. mit Strecke ${\overline {QR}}$) ziehen, anschließend Radius einzeichnen, ergibt $P_{17}.$
6. ${\overline {WV}}=\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)$ auf ${\overline {W'P_{17}}}$ ab $W'$ übertragen, ergibt $V'.$
7. Lot auf ${\overline {W'V'}}$ in $V'$ bis Umkreis ergibt ersten Eckpunkt $P_{1}$ des entstehenden Siebzehnecks.
8. ${\overline {P_{1}P_{17}}}$ fünfzehnmal gegen den Uhrzeigersinn auf dem Umkreis abtragen und abschließend die benachbarten Ecken verbinden. Somit ist das regelmäßige Siebzehneck fertiggestellt.

Grundsätzlich wäre es auch möglich, den von Gauß zuerst gefundenen (langen) Ausdruck als konstruierte Strecke darzustellen. In der einschlägigen Literatur wird aber keine derartige Lösung beschrieben.

Vorkommen

Fensterrose, Mädlerpassage in Leipzig

In der Leipziger Mädlerpassage ist in der Kuppel der Rotunde eine Fensterrose eingelassen, deren Umriss einem Siebzehneck gleicht. Sie misst etwa zwölf Meter im Durchmesser und befindet sich ungefähr auf fünfzehn Meter Höhe. Errichtet wurde die Fensterrose von dem Architekten Theodor Kösser innerhalb seines Projektes Mädlerpassage (1912–1914).

Regelmäßige überschlagene Siebzehnecke

Ein regelmäßiges überschlagenes Siebzehneck ergibt sich, wenn beim Verbinden der siebzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen $\left\{n/k\right\}$, wobei $n$ die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder $k$-te Punkt verbunden wird.

In der folgenden Galerie sind die sieben möglichen regelmäßigen Siebzehnstrahlsterne, auch Heptadekagramme genannt, dargestellt.

• Regelmäßige Siebzehnstrahlsterne
• 
  $\left\{17/2\right\}{,}\ \left\{17/15\right\}$
• 
  $\left\{17/3\right\}{,}\ \left\{17/14\right\}$
• 
  $\left\{17/4\right\}{,}\ \left\{17/13\right\}$
• 
  $\left\{17/5\right\}{,}\ \left\{17/12\right\}$
• 
  $\left\{17/6\right\}{,}\ \left\{17/11\right\}$
• 
  $\left\{17/7\right\}{,}\ \left\{17/10\right\}$
• 
  $\left\{17/8\right\}{,}\ \left\{17/9\right\}$

Siehe auch

• Kreisteilung
• Trick 17

Literatur

• Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, Kapitel 5.8: Construction of the regular polygon of 17 sides, S. 71–77. 
• Harold Scott MacDonald Coxeter: Introduction to Geometry. 2. Auflage. Wiley, 1989, ISBN 0-471-50458-0, S. 26–28. 
• Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). In: Rüdiger Thiele (Hrsg.): Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. GNT-Verlag, Berlin/Diepholz 2000, S. 101–118. 
• Ian Stewart: Die letzten Rätsel der Mathematik. rororo 61694. 2. Auflage. Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg 2015, ISBN 978-3-499-61694-5, S. 494–496. 

Weblinks

Wikibooks: Siebzehneck – Lern- und Lehrmaterialien

Commons: Regelmäßiges Siebzehneck – Sammlung von Bildern

Wiktionary: Siebzehneck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wiktionary: Heptadekagramm – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Heptadecagon. In: MathWorld (englisch).
• Edmund Weitz: Das regelmäßige 17-Eck. In: YouTube. 2017; abgerufen am 19. April 2024.