Sfera di Bloch

In meccanica quantistica, la sfera di Bloch è una rappresentazione geometrica dello spazio degli stati "puri" di un sistema quanto-meccanico a 2 livelli indicati con $\mathbf {q}$ . In altri termini essa rappresenta gli stati "puri" di un registro quantistico a 1 qubit. La sfera di Bloch è geometricamente una sfera di raggio unitario i cui punti sulla superficie sono in corrispondenza biunivoca con gli stati "puri" di $\mathbf {q}$ ; questa corrispondenza può essere determinata esplicitamente e fornisce una rappresentazione di $\mathbf {q}$ spesso utile.

Si determina questa corrispondenza, cioè la descrizione di un qubit nella sfera di Bloch. Un qualsiasi stato $\psi$ di $\mathbf {q}$ può essere scritto come la "sovrapposizione" complessa di due vettori ket $|0\rangle$ e $|1\rangle$ costituenti una base ortonormale dello spazio di Hilbert di $\mathbf {q}$ . Questa rappresentazione dipendente da 4 parametri reali è notoriamente ridondante, sia perché sono sufficienti i vettori di norma 1, sia perché i fattori di fase non influiscono sugli stati fisici. Si può supporre che il coefficiente di $|0\rangle$ sia reale e non negativo: con questa scelta ogni $\psi$ utile e di norma $1$ viene rappresentato come:

|\psi \rangle =\cos {\frac {\theta }{2}}\,|0\rangle +e^{i\phi }\sin {\frac {\theta }{2}}\,|1\rangle

con

0\leq \theta \leq \pi ,\quad 0\leq \phi <2\pi

.

I parametri $\varphi$ e $\theta$ , un po' diversi da quelli utilizzati solitamente per le coordinate sferiche, identificano univocamente un punto di coordinate $(x,y,z)$ sulla sfera unitaria dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{3}$ tramite le seguenti espressioni:

{\begin{cases}x&=\sin \theta \cos \phi \\y&=\sin \theta \sin \phi \\z&=\cos \theta \end{cases}}

.

Questa corrispondenza è biunivoca ad eccezione dei punti $(0,0,1)$ e $(0,0,-1)$ per i quali $\phi$ è ininfluente.

Due punti agli antipodi della superficie della sfera rappresentano vettori fra loro ortogonali.

In questa rappresentazione $|0\rangle$ è mappato nel punto $(0,0,1)$ e $|1\rangle$ è mappato nel punto $(0,0,-1)$ . Ad eccezione di questi due poli ogni coppia $(\theta ,\varphi )$ si trova in corrispondenza biunivoca con uno stato di $\mathbf {q}$ .