Binomio di Newton dimostrazione

Ciao, qualcuno potrebbe spiegarmi come fare la dimostrazione della formula del binomio di Newton tramite il metodo di induzione? Vorrei allegarvi quello che ho riportato dalla lezione, altrimenti ci metto una vita a riscrivere tutto quello che ho riportato sul quaderno : / grazie

ciao,

vorresti dimostrare per induzione la formula del binomio di Newton

?

senza che alleghi i tuoi appunti, dimmi se conosci le proprietà del coefficiente binomiale, in particolare questa:

questa in particolare non l'abbiamo proprio vista,è segnata sul libro ma non ne ha parlato minimamente,comunque si vorrei dimostrare quello che hai scritto,grazie

io la so fare con quella proprietà lì, di solito è molto comune e credo che questa dimostrazione la richieda, anche perchè cade proprio a pennello

comunque si dimostra per induzione:

inizio con una precisazione, quella proprietà vale se e

la verifica che la formula di newton vale per n = 1 la salto tanto è immediata e non dovrebbe creare problemi (nel caso siamo qui).

per il passo induttivo invece:

in seguito si trasla di - 1 l'indice k della prima sommatoria:

nell'ultimo passaggio ho solamento portato fuori l'ultimo termine della sommatoria.

invece, dalla seconda sommatoria, porto fuori il primo termine, in modo che gli estremi dell'indice delle due sommatorie coincidano:

poi sostituisco nella formula generale:

e finalmente si applica la famosa proprietà di prima (nota che si puo applicare tranquillamente perché la sommatoria parte da 1 a n) e si ottiene:

infine per completare basta ricordare che:

, per cui la formula diventa:

Grazie mille per la risposta, scusa se mi faccio sentire solo ora, avrei una domanda, riguarda il punto in cui trasli l'indice k,(premetto che sono molto a digiuno di queste cose : / ), perché al traslare di -1 l'indice k, mi ritrovo k=1 e n+1 sul simbolo della sommatoria? Inoltre perdona l'ignoranza ti prego, ma come fai a dire che a^n+1 e b^n+1 sono l'ultimo e il primo termine delle rispettive sommatorie?

Anche il penultimo passaggio non capisco, cioè se quei due coefficienti equivalgono a 1 che mi importa metterli o non metterli? @_@ non avrei dovuto fare quel tour de force sui numeri complessi,non sto capendo più niente grazie

altrimenti,qualcuno potrebbe spiegarmi,per favore, come ottenere il primo e l'ultimo valore delle rispettive sommatorie? oltre che il penultimo passaggio,grazie

Ciao a tutti

Satiro ha scritto:

Se può aiutarti, cambia il nome dell'indice nella traslazione: poni , per cui se e se . Fatto ciò, rinomina come .

Prova a sostituire nel termine generale della sommatoria al posto dell'indice nel termine di sommatoria.

Scriverli in quella forma ti permette di condensare la somma dei tre termini in un'unica sommatoria. E' più che altro una questione di compattezza delle notazioni.

Ah ok grazie,però quando sostituisco non mi viene cmq non è che potresti mostrarmi ad esempio come fai per trovare l'ultimo termine della sommatoria? grazie

nella sommatoria:

l'ordine dei termini è dato dall'indice , l'ultimo termine è quindi quello relativo a , per calcolarlo basta calcolare il termine generale della sommatoria per :